3.12 Función Delta Dirac.

http://domisinto.blogspot.com/2011/05/312-funcion-delta-dirac.html

3.11 Transformada de Laplace de una función periódica.

http://domisinto.blogspot.com/2011/05/311-transformada-de-laplace-de-una.html

3.10 TEOREMA DE CONVOLUCIÓN

http://marisolgrifaldo.blogspot.com/2011/05/310-teorema-de-convolucion.html

3.9 TRANSFORMADA DE INTEGRALES (TEOREMA)

http://ellugardezongua.blogspot.com/2011/05/39-transformada-de-integrales-teorema_17.html

3.8 TRANSFORMADA DE DERIVADAS (TEOREMA).

Demostración

Por ser f de orden exponencial existen números no negativos T,  y ky tales que |y(t)| <= Me, para t > T. Asi que 

La primera integral



  

es una integral definida, por tanto existe. Para la segunda integral note que

Ahora, como

siempre y cuando s > k, tenemos que la integral

existe y con ello la transformada.

Observación: el teorema anterior enuncia una condición suficiente y no necesaria para la existencia de la transformada de Laplace, es decir, puede darse el caso de una función f

que no cumpla las hipótesis del teorema, pero aún así tenga transformada,

Demostración
Es una consecuencia directa de la convergencia de la suma en integrales impropias.

Demostración
Integrando por partes

Con un argumento similar podemos demostrar que

El siguiente teorema trata sobre el efecto que tiene en una transformada la escalación de una función f(t).

  

Demostración
Para comprobar esta propiedad basta hacer un cambio de variable u=ct

3.7 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES MULTIPLICADAS POR tn Y DIVIDIDA ENTRE t.

http://marisolgrifaldo.blogspot.com/2011/05/37-transformada-de-laplace-de-funciones.html

3.6 Propiedades de la transformada de Laplace (linealidad, teoremas de traslación)

Propiedad de linealidad de que la transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para a y B constantes.

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA LA TRASLACIÓN DE FUNCIONES EN EL EJE  S

PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN.

Este primer teorema de traslación se conoce también con el nombre de primer teorema de desplazamiento

Si se considera a s una variable real, entonces la gráfica de F (s – a) es la gráfica de F(s) desplazada en el eje s por la cantidad |a| tal como se muestra en la figura 7.11.

 Para dar énfasis a esta traslación en el eje s, a veces es útil usar el simbolismo siguiente:

Donde s -> s - a significa que la transformada de Laplace F(s) de f(t)  el símbolo s se remplaza por  s-a siempre que aparezca

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA LA TRASLACIÓN DE FUNCIONES EN EL EJE t

SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN.

Este segundo teorema de traslación se conoce también con el nombre de segundo teorema de desplazamiento

En el teorema anterior se puede observar que un múltiplo exponencial de f(t) da como resultado una traslación de la transformada F(s) en el eje s. Como una consecuencia del segundo teorema se nota que siempre que F(s) se multiplique por una función exponencial e, a > 0 la transformada inversa del producto e, F(s) es la función f desplazada a lo largo del eje t, tal como se muestra en la figura 7.16 (b)

Usando la definición de la transformada de Laplace y haciendo la sustitución u = t – a , se obtiene la fórmula siguiente: