3.12 Función Delta Dirac.

http://domisinto.blogspot.com/2011/05/312-funcion-delta-dirac.html

3.11 Transformada de Laplace de una función periódica.

http://domisinto.blogspot.com/2011/05/311-transformada-de-laplace-de-una.html

3.10 TEOREMA DE CONVOLUCIÓN

http://marisolgrifaldo.blogspot.com/2011/05/310-teorema-de-convolucion.html

3.9 TRANSFORMADA DE INTEGRALES (TEOREMA)

http://ellugardezongua.blogspot.com/2011/05/39-transformada-de-integrales-teorema_17.html

3.8 TRANSFORMADA DE DERIVADAS (TEOREMA).

Demostración

Por ser f de orden exponencial existen números no negativos T,  y ky tales que |y(t)| <= Me, para t > T. Asi que 

La primera integral



  

es una integral definida, por tanto existe. Para la segunda integral note que

Ahora, como

siempre y cuando s > k, tenemos que la integral

existe y con ello la transformada.

Observación: el teorema anterior enuncia una condición suficiente y no necesaria para la existencia de la transformada de Laplace, es decir, puede darse el caso de una función f

que no cumpla las hipótesis del teorema, pero aún así tenga transformada,

Demostración
Es una consecuencia directa de la convergencia de la suma en integrales impropias.

Demostración
Integrando por partes

Con un argumento similar podemos demostrar que

El siguiente teorema trata sobre el efecto que tiene en una transformada la escalación de una función f(t).

  

Demostración
Para comprobar esta propiedad basta hacer un cambio de variable u=ct

3.7 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES MULTIPLICADAS POR tn Y DIVIDIDA ENTRE t.

http://marisolgrifaldo.blogspot.com/2011/05/37-transformada-de-laplace-de-funciones.html

3.6 Propiedades de la transformada de Laplace (linealidad, teoremas de traslación)

Propiedad de linealidad de que la transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para a y B constantes.

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA LA TRASLACIÓN DE FUNCIONES EN EL EJE  S

PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN.

Este primer teorema de traslación se conoce también con el nombre de primer teorema de desplazamiento

Si se considera a s una variable real, entonces la gráfica de F (s – a) es la gráfica de F(s) desplazada en el eje s por la cantidad |a| tal como se muestra en la figura 7.11.

 Para dar énfasis a esta traslación en el eje s, a veces es útil usar el simbolismo siguiente:

Donde s -> s - a significa que la transformada de Laplace F(s) de f(t)  el símbolo s se remplaza por  s-a siempre que aparezca

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA LA TRASLACIÓN DE FUNCIONES EN EL EJE t

SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN.

Este segundo teorema de traslación se conoce también con el nombre de segundo teorema de desplazamiento

En el teorema anterior se puede observar que un múltiplo exponencial de f(t) da como resultado una traslación de la transformada F(s) en el eje s. Como una consecuencia del segundo teorema se nota que siempre que F(s) se multiplique por una función exponencial e, a > 0 la transformada inversa del producto e, F(s) es la función f desplazada a lo largo del eje t, tal como se muestra en la figura 7.16 (b)

Usando la definición de la transformada de Laplace y haciendo la sustitución u = t – a , se obtiene la fórmula siguiente:

 

3.5 FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO

http://marisolgrifaldo.blogspot.com/2011/05/35-funcion-escalon-unitario.html

3.4 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS.

Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas.

En General, el requisito de que estos límites sean finitos en todos los puntos xk implica que las únicas discontinuidades de F son discontinuidades de salto, del tipo que aparecen el la figura 1.2.

Intuitivamente podríamos pensar que las funciones continuas a trozos son casi continuas o que no son demasiado discontinuas.  

La función escalón unitario también se puede usar para expresar funciones definidas por tramos en forma compacta; por ejemplo la función

equivale a

de igual forma, una función del tipo

se puede escribir en la forma

3.3 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES BÁSICAS

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3.2 CONDICIONES SUFICIENTES DE EXISTENCIA PARA LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.

 

Demostración

Por ser F de orden exponencial existen números no negativos T.



La primera integral

es una integral definida, por tanto existe. Para la segunda integral note que

Ahora, como

siempre y cuando s>k  tenemos que la integral

existe y con ello la transformada.

 Observación: el teorema anterior enuncia una condición suficiente y no necesaria para la existencia de la transformada de Laplace, es decir, puede darse el caso de una función F que no cumpla las hipótesis del teorema.

 Fuente:

http://licmoralesvidea.files.wordpress.com/2008/12/transformada-de-laplace.pdf

UNIDAD 3 TRANSFORMADAS DE LAPLACE

3.1 Definición de la transformada de Laplace

La transformada de Laplace es:

La transformada de Laplace es entonces una aplicación del espacio E de funciones reales, sobre el espacio E de funciones complejas; donde f (t) se llama función original y F(s) se llama función transformada. A e ^{s t} se la denomina núcleo de la transformación.

Observación 1: La T.L. también se extiende como aplicación de espacios complejos sobre espacios complejos.

Observación 2: En la mayoría de los libros se define:

Efectivamente, si se toma la definición original se llega a este resultado:

Sin embargo, en el caso de funciones con desplazamiento, de tomarse la 2o expresión   se obtienen resultados incorrectos.

CORRECTO

INCORRECTO (para a< 0)



Anexo un pequeño ejemplo de lo que se va a tratar esta unidad.

Fuente de la información:

http://materias.fi.uba.ar/61107/Apuntes/La00.pdf