3.8 TRANSFORMADA DE DERIVADAS (TEOREMA).

Demostración

Por ser f de orden exponencial existen números no negativos T,  y ky tales que |y(t)| <= Me, para t > T. Asi que 

La primera integral



  

es una integral definida, por tanto existe. Para la segunda integral note que

Ahora, como

siempre y cuando s > k, tenemos que la integral

existe y con ello la transformada.

Observación: el teorema anterior enuncia una condición suficiente y no necesaria para la existencia de la transformada de Laplace, es decir, puede darse el caso de una función f

que no cumpla las hipótesis del teorema, pero aún así tenga transformada,

Demostración
Es una consecuencia directa de la convergencia de la suma en integrales impropias.

Demostración
Integrando por partes

Con un argumento similar podemos demostrar que

El siguiente teorema trata sobre el efecto que tiene en una transformada la escalación de una función f(t).

  

Demostración
Para comprobar esta propiedad basta hacer un cambio de variable u=ct